量子力学的形式理论#
系统的运动状态由 Hilbert 空间（所有平方可积函数构成的线性空间）中的一个矢量 \(\ket{ \mathfrak{I} }\) 描述。
\(\ket{ \mathfrak{I} } \in \mathcal{H}\) ， \(\mathcal{H}\) 可以为分立维空间，也可以为连续维空间。 \(\bra{I} \in \mathcal{H}^{ * }\) 为其对偶矢量，把矢量映射为一个数。对分立维矢量，其对应的左矢看作其 Hermitian 的左乘；对连续维矢量（函数），看作一个对积分的指定 \(\int f^{ * }(x) [ \dots ] \mathrm{~d}^{3} x\) 。
可测力学量与 Hermitian 算符一一对应，对可测力学量的观测结果必为其对应算符的本征值之一。将态矢 \(\ket{ \mathfrak{ I } }\) 按照其本征函数集做线性展开，得到的系数取模方即为测得对应本征态的概率。测量过后态矢坍缩为对应本征态。
Hermitian 算符为 Hilbert 空间中的线性变换，且对应的矩阵为 Hermitian 矩阵（转置共轭等于自身）。由此可以证明，Hermitian 算符的本征值必为实数，属于不同本征值的本征函数必定正交。Dirac 取公理为，可测力学量对应的 Hermitian 算符必有一个正交完备的本征函数集。
利用归一基 \(\ket{a}\) 对应的算符 \(\hat{P} = \ket{a} \bra{a}\) 可以求得态矢在其方向上的投影。类似地，可以将态矢按照本征函数集展开。
\[ \ket{ \mathfrak{I} } = \sum_{a} \ket{a} \braket{ a | \mathfrak{I} } \]通过确定在每个基矢 \(\ket{a}\) 上的系数，我们可以确定对应的态。这种描述的态矢称为可测力学量 \(A\) 对应的表象中的波函数。不同表象间可以相互变换，例如坐标表象和动量表象
\[\begin{split} \begin{array}{l} \ket{ \mathfrak{I} } = \sum_{r} \ket{r} \underbrace{ \braket{ r | \mathfrak{I} } }_{ \psi(r) } = \sum _{p} \ket{p} \underbrace{ \braket{ p | \mathfrak{I} } } _{ \phi(p) } = \sum _{p,r} \ket{p} \braket{ p | r} \braket{ r | \mathfrak{I} } \\ \phi(p) = \sum _{r} \braket{ p | r } \psi(r) \end{array} \end{split}\]考虑坐标表象中的动量本征函数 \(\psi_{p}(r,t) = A(t) e^{ i \frac{p \cdot r}{\hbar} }\) ，有 \(\ket{p} = \sum_{r} \ket{r} \psi_{p}(r)\) ， 即
\[ \braket{ r | p } = \psi_{p}(r) = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} e^{ i \frac{ p \cdot r }{ \hbar } } \]作为理论自洽性的考量，还要证明两个表象下态矢的演化规律等价。
由于实验上测得的都是可测力学量的概率分布，即 Hilbert 空间中态矢与可测力学量归一基底的内积模方。因而态矢的演化有两种视角，一种是认为力学量对应的算符及其特征矢量不随时间演化，而是态矢与能量本征矢量随时间演化（Schrodinger 绘景）；另一种是认为态矢与能量本征函数不随时间演化，而是力学量算符随时间演化（Heisenberg 绘景）。（为什么能量本征函数上的系数不变？）
Schrodinger 绘景下，态矢的运动方程为
力学量期望的演化为
后者为 Heisenberg 绘景。
Heisenberg 绘景中， \(\hat{A}(t) = \sum_{m,n} \ket{m} A_{m,n} e^{i \frac{ E_{m} - E_{n} }{\hbar} t } \bra{n}\)
具体到坐标表象中， \(\ket{\psi} = \sum_{r} \ket{r} \psi(r)\) ， \(\hat{H} = \frac{\hat{p}^{2}}{2m} + V(\hat{r})\)
\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(r, t) = \left( - \frac{\hbar^{2}}{2m} \nabla^{2} + V(r) \right) \psi(r, t) \]我们一般先求解所谓定态 Schrodinger 方程
\[ \hat{H} \psi_{E}(r) = E \psi_{E}(r) \]然后再将初态波函数以之为基底展开，求得任意时刻的波函数。（直接用上面的算符表达式计算波函数演化也行。）此后我们再求可测力学量 \(\hat{A}\) 的本征函数
\[ \hat{A} \psi_{a}(r) = a \psi_{a}(r) \]通过将某刻波函数与之做内积得到测量的概率分布。
最后，作为一个应用，我们来讨论不确定原理与最小不确定波包。